Forme tridimensionali: poliedri, solidi curvi e area superficiale

Guarda anche: Proprietà dei poligoni

Questa pagina esamina le proprietà delle forme tridimensionali o 'solide'.

Una forma bidimensionale ha lunghezza e larghezza. Una forma solida tridimensionale ha anche profondità. Le forme tridimensionali, per loro natura, hanno un interno e un esterno, separati da una superficie. Tutti gli oggetti fisici, le cose che puoi toccare, sono tridimensionali.

Questa pagina copre sia i solidi a lato dritto chiamati poliedri, che sono basati su poligoni, sia i solidi con curve, come globi, cilindri e coni.




Poliedri

I poliedri (o poliedri) sono forme solide dai lati dritti. I poliedri sono basati su poligoni, forme piane bidimensionali con linee rette.

Vedi la nostra pagina Proprietà dei poligoni per ulteriori informazioni sull'utilizzo dei poligoni.

I poliedri sono definiti come aventi:

  • Dritto bordi .
  • Lati piatti chiamati facce .
  • Angoli, chiamati vertici .

I poliedri sono spesso definiti anche dal numero di bordi, facce e vertici che hanno, nonché dal fatto che le loro facce abbiano tutte la stessa forma e dimensione. Come i poligoni, i poliedri possono essere regolari (basati su poligoni regolari) o irregolari (basati su poligoni irregolari). I poliedri possono anche essere concavi o convessi.



Uno dei poliedri più elementari e familiari è il cubo. Un cubo è un poliedro regolare, con sei facce quadrate, 12 bordi e otto vertici.


Proprietà dei poliedri di base. Poliedri regolari, prismi e piramidi.

Poliedri regolari (solidi platonici)

I cinque solidi regolari sono una classe speciale di poliedri, le cui facce sono tutte identiche e ciascuna faccia è un poligono regolare. I solidi platonici sono:

  • Tetraedro con quattro facce del triangolo equilatero.
  • Cubo con sei facce quadrate.
  • Ottaedro con otto facce di triangolo equilatero.
  • Dodecaedro con dodici facce pentagonali.
  • Icosaedro con venti facce di triangolo equilatero.
Vedere il diagramma sopra per un'illustrazione di ciascuno di questi poliedri regolari.

Cos'è un prisma?

PER prisma è un poliedro che ne ha due estremità in tinta e lati piatti . Se tagli un prisma ovunque lungo la sua lunghezza, parallelamente a un'estremità, la sua sezione trasversale è la stessa: ti ritroverai con due prismi. I lati di un prisma sono parallelogrammi - forme a quattro lati con due coppie di lati di uguale lunghezza.



Antiprismi sono simili ai prismi regolari, le loro estremità corrispondono. Tuttavia i lati degli antiprismi sono costituiti da triangoli e non da parallelogrammi. Gli antiprismi possono diventare molto complessi.

Cos'è una piramide?

Una piramide è un poliedro con a base poligonale che si collega a un file apice (punto superiore) con lati dritti.

Anche se si tende a pensare a piramidi a base quadrata, come quelle costruite dagli antichi egizi, possono infatti avere una base poligonale qualsiasi, regolare o irregolare. Inoltre, una piramide può avere un vertice nel centro diretto della sua base, a Piramide di destra o può avere l'apice fuori centro quando è un file Piramide obliqua .

Archimede Solido - Cubo Troncato

Poliedri più complessi



Esistono molti altri tipi di poliedri: simmetrici e asimmetrici, concavi e convessi.

Solidi di Archimede, ad esempio, sono costituiti da almeno due diversi poligoni regolari.

Il cubo troncato (come illustrato) è un solido di Archimede con 14 facce. 6 delle facce sono ottagoni regolari e le altre 8 sono triangoli regolari (equilateri). La forma ha 36 bordi e 24 vertici (angoli).


Forme tridimensionali con curve

Le forme solide che includono un bordo curvo o rotondo non sono poliedri. I poliedri possono avere solo lati dritti.

Molti degli oggetti intorno a te includeranno almeno alcune curve. In geometria i solidi curvi più comuni sono cilindri, coni, sfere e tori (il plurale per toro).

Forme tridimensionali comuni con curve:
Cilindro Cono
Cilindro Cono
Un cilindro ha la stessa sezione trasversale da un'estremità all'altra. I cilindri hanno due estremità identiche di un cerchio o di un ovale. Sebbene simili, i cilindri non sono prismi poiché un prisma ha (per definizione) parallelogramma, lati piatti. Un cono ha una base circolare o ovale e un apice (o vertice). Il lato del cono si assottiglia dolcemente fino all'apice. Un cono è simile a una piramide ma distinto in quanto un cono ha un unico lato curvo e una base circolare.
Sfera Torus
Sfera Torus
A forma di palla o globo, una sfera è un oggetto completamente rotondo. Ogni punto sulla superficie di una sfera è uguale alla distanza dal centro della sfera. A forma di anello, pneumatico o ciambella, un toro ad anello regolare si forma facendo ruotare un cerchio più piccolo attorno a un cerchio più grande. Esistono anche forme più complesse di tori.

Superficie

La nostra pagina su Area di calcolo spiega come calcolare l'area delle forme bidimensionali e devi comprendere queste basi per calcolare l'area della superficie delle forme tridimensionali.

Per le forme tridimensionali, parliamo superficie , evitare la confusione.

È possibile utilizzare le proprie conoscenze sull'area delle forme bidimensionali per calcolare l'area della superficie di una forma tridimensionale, poiché ogni faccia o lato è effettivamente una forma bidimensionale.

Quindi calcoli l'area di ciascuna faccia e poi le somma.



Come per le forme piatte, la superficie di un solido è espressa in unità quadrate: cmDue, polliciDue, mDuee così via. Puoi trovare maggiori dettagli sulle unità di misura sulla nostra pagina Sistemi di misurazione .

Esempi di calcoli dell'area superficiale

Area della superficie di un cubo

Cubo

Il superficie di un cubo è l'area di una faccia (lunghezza x larghezza) moltiplicata per 6, perché tutte e sei le facce sono uguali.

Poiché la faccia di un cubo è un quadrato, devi solo prendere una misura: la lunghezza e la larghezza di un quadrato sono, per definizione, le stesse.

Una faccia di questo cubo è quindi 10 × 10 cm = 100 cmDue. Moltiplica per 6, il numero di facce su un cubo, e troviamo che la superficie di questo cubo è di 600 cmDue.

Altri poliedri regolari

Allo stesso modo, la superficie degli altri poliedri regolari (solidi platonici) può essere calcolata trovando l'area di un lato e quindi moltiplicando la risposta per il numero totale di lati - vedere il diagramma dei poliedri di base sopra.

Se l'area di un pentagono che compone un dodecaedro è di 22 cmDuequindi moltiplicalo per il numero totale di lati (12) per ottenere la risposta 264 cmDue.


Piramide

Per calcolare il superficie di una piramide standard con quattro lati triangolari uguali e base quadrata:

Per prima cosa calcola l'area della base (quadrata) lunghezza × larghezza.

Quindi calcola l'area di un lato (triangolo). Misura la larghezza lungo la base e poi l'altezza del triangolo (noto anche come lunghezza obliqua) dal punto centrale sulla base all'apice.

Puoi quindi dividere la tua risposta per 2 per ottenere la superficie di un triangolo e quindi moltiplicare per 4 per ottenere la superficie di tutti e quattro i lati, o semplicemente moltiplicare la superficie di un triangolo per 2.

Infine aggiungi l'area della base e dei lati per trovare la superficie totale della piramide.

Per calcolare il superficie di altri tipi di piramide, sommare l'area della base (nota come area di base) e l'area dei lati (area laterale), potrebbe essere necessario misurare i lati individualmente.

tipi di grafici nelle statistiche con esempi

Diagrammi netti

Una rete geometrica è un 'motivo' bidimensionale per un oggetto tridimensionale. Le reti possono essere utili quando si calcola la superficie di un oggetto tridimensionale. Nel diagramma qui sotto puoi vedere come sono costruite le piramidi di base, se la piramide è 'spiegata' rimani con la rete.

Reti piramidali

Per ulteriori informazioni sui diagrammi di rete vedere la nostra pagina Forme 3D e reti .


Area superficiale di un prisma

Prisma

Per calcolare il superficie di un prisma :

I prismi hanno due estremità uguali e lati piatti del parallelogramma.

Calcola l'area di un'estremità e moltiplicala per 2.

Per un prisma regolare (dove tutti i lati sono uguali) calcolare l'area di uno dei lati e moltiplicare per il numero totale di lati.

Per prismi irregolari (con lati diversi) calcolare l'area di ciascun lato.

Aggiungi le tue due risposte insieme (estremità × lati) per trovare la superficie totale del prisma.


Cilindro

Area della superficie di un cilindro

Esempio:
Raggio = 5 cm
Altezza = 10 cm

Per calcolare il superficie di un cilindro è utile pensare alle parti che compongono la forma. Immagina una lattina di mais dolce: ha una parte superiore e una inferiore, entrambe cerchi. Se tagli il lato lungo la sua lunghezza e lo appiattisci, otterrai un rettangolo. È quindi necessario trovare l'area di due cerchi e un rettangolo.

Per prima cosa calcola l'area di uno dei cerchi.

L'area di un cerchio è π (pi) × raggioDue.

Supponendo un raggio di 5 cm, l'area di uno dei cerchi è 3,14 × 5Due= 78,5 cmDue.

Moltiplica la risposta per 2, poiché ci sono due cerchi di 157 cmDue

L'area del lato del cilindro è il perimetro del cerchio × l'altezza del cilindro.

Il perimetro è uguale a π x 2 × raggio. Nel nostro esempio, 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Misura l'altezza del cilindro - per questo esempio l'altezza è di 10 cm. La superficie del lato è 31,4 × 10 = 314 cmDue.

La superficie totale può essere trovata sommando l'area dei cerchi e il lato insieme:

qual è la formula per il volume di un rettangolo?

157 + 314 = 471 cmDue


Calcola la superficie di un cono.

Esempio:
Raggio = 5 cm
Lunghezza dell'inclinazione = 10 cm

Cono

Quando si calcola il superficie di un cono è necessario utilizzare la lunghezza dell ''inclinazione' e il raggio della base.

Tuttavia, è relativamente semplice calcolare:

L'area del cerchio alla base del cono è, π (pi) × raggioDue.

In questo esempio la somma è 3,14 × 5Due= 3,14 × 25 = 78,5 cmDue

L'area del lato, la sezione in pendenza, può essere trovata utilizzando questa formula:

π (pi) × raggio × lunghezza dell'inclinazione.

Nel nostro esempio la somma è 3,14 × 5 × 10 = 157 cmDue.

Infine aggiungi l'area di base all'area laterale per ottenere la superficie totale del cono.

78,5 + 157 = 235,5 cmDue


Calcola la superficie di una sfera.

Palla da tennis:
Diametro = 2,6 pollici

Sfera

Il superficie di una sfera è un'espansione relativamente semplice della formula per l'area di un cerchio.

4 × π × raggioDue.

Per una sfera è spesso più facile misurare il diametro - la distanza attraverso la sfera. È quindi possibile trovare il raggio che è la metà del diametro.

Il diametro di una pallina da tennis standard è di 2,6 pollici. Il raggio è quindi di 1,3 pollici. Per la formula abbiamo bisogno del raggio al quadrato. 1,3 × 1,3 = 1,69.

La superficie di una pallina da tennis è quindi:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 polliciDue.


Calcola l

Esempio:
R (raggio grande) = 20 cm
r (raggio piccolo) = 4 cm

Torus

Per calcolare il area superficiale di un toro devi trovare due valori di raggio.

Il raggio grande o maggiore (R) viene misurato dal centro del foro al centro dell'anello.

Il raggio piccolo o minore (r) viene misurato dal centro dell'anello al bordo esterno.

Il diagramma mostra due viste di un esempio di toro e come misurare i suoi raggi (o raggi).

Il calcolo per trovare la superficie è in due parti (una per ogni raggio). Il calcolo è lo stesso per ogni parte.

La formula è: area superficiale = (2πR) (2πr)

Per calcolare l'area della superficie del toro di esempio.

(2 × π × R) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Moltiplica le due risposte insieme per trovare la superficie totale del toro di esempio.

125,6 × 25,12 = 3155,072 cmDue.


Riempire un solido: volume

Con le forme tridimensionali, potresti anche aver bisogno di sapere quanto volume loro hanno.

In altre parole, se li riempissi di acqua o aria, di quanto ripieno avresti bisogno?

Questo è trattato sulla nostra pagina Calcolo del volume .

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