Equazioni simultanee e quadratiche

Continua da: Introduzione all'algebra

La nostra pagina Introduzione all'algebra spiega come risolvere equazioni semplici con l'algebra di base.

Questa pagina discute le equazioni più complesse, comprese quelle che coinvolgono le frazioni, e due problemi particolari che potresti incontrare: equazioni simultanee ed equazioni quadratiche.

Soprattutto, chiarisce che queste equazioni, come altre, sono conformi alle regole e che puoi ancora manipolarle, purché ti ricordi di fare la stessa cosa su entrambi i lati dell'equazione.



Parentesi in algebra

Nelle equazioni algebriche, ti imbatterai spesso in termini tra parentesi (parentesi). Per risolvere l'equazione, potrebbe essere necessario espandere le parentesi. Ciò significa che dobbiamo elaborare l'espressione e rimuovere le parentesi in modo logico, secondo alcune regole.



Se nell'equazione è presente un solo gruppo di parentesi, il processo è semplice. Per esempio:

$$ 4 (x - 2) = 18 $$

In questo caso, tutto ciò che si trova all'interno delle parentesi sul lato sinistro dell'equazione viene moltiplicato per 4. Innanzitutto, espandere le parentesi termine per termine:

$$ 4x - 8 = 18 $$

Ora puoi risolvere l'equazione per (x ). Successivamente, aggiungi 8 su ciascun lato:

$$ 4x = 26 $$



Infine dividi ogni lato per 4:

$$ x = 6,5 $$

Se l'equazione ha due serie di parentesi (o più), che devono essere moltiplicate insieme, il processo è più complicato, ma segue un insieme logico di regole.

Ad esempio, espandere l'espressione:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$



Sul lato sinistro dell'equazione, dobbiamo moltiplicare (2 (x ) + 5) per ( (x ) + 4). Ogni serie di parentesi contiene più di un termine. Non si tratta semplicemente di moltiplicare un insieme di parentesi per a coefficiente , come nell'esempio precedente, dove hai moltiplicato l'intera parentesi per 4.

In questo caso, devi moltiplicare ogni termine nella prima parentesi per ogni termine nella seconda parentesi e sommarli tutti insieme, ovvero moltiplicare (x ) per (x ), (x ) per 4 , quindi (x ) per 5, quindi 4 per 5. Sembra piuttosto complicato, quindi puoi usare un metodo noto come 'FOGLIO' aiutare.

Metodo FOIL per la risoluzione di equazioni. Primo, fuori, dentro, ultimo.

FOIL sta per F prima O utero io uomini L ast.

PRIMO: 2 (x ) × (x ) = 2 (x )Due



ESTERNO: 2 (x ) × 4 = 8 (x )

INTERNO: 5 × (x ) = 5 (x )

ULTIMO: 5 × 4 = 20

Il passaggio successivo consiste nell'aggiungerli insieme:

2 (x )Due+ 8 (x ) + 5 (x ) + 20 è uguale a 2 (x )Due+ 13 (x ) + 20.

Quindi l'equazione originale (2 (x ) + 5) ( (x ) + 4) = 0 diventa:

$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$

Questo tipo di equazione è noto come a equazione quadrata . C'è di più su questo di seguito.

Equazioni con frazioni

Le equazioni con le frazioni sembrano un po 'scoraggianti, ma c'è un semplice trucco per renderle più facili da risolvere.

Moltiplicazione incrociata comporta la rimozione delle frazioni moltiplicando a turno entrambi i lati per ciascun denominatore. Per ulteriori informazioni su come lavorare con le frazioni, vedere la nostra pagina su Frazioni .

Esempio lavorato


$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$

Per rimuovere le frazioni, moltiplica a turno entrambi i lati dell'equazione per ciascun denominatore (3 e 5).
Inizia moltiplicando ogni lato per 3:

$$ frac {3 (2 + x)} {3} = frac {3 (9 + x)} {5} $$

A sinistra, i due 3 si annullano, lasciando 2 + (x ).
A destra, espandi le parentesi al numeratore per ottenere 27 + 3 (x )

$$ 2 + x = frac {27 + 3x} {5} $$

Ora moltiplica entrambi i lati per 5. Ancora una volta, i due 5 si annulleranno a destra e ti ritroverai con:

$$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$ $$ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Riorganizza l'equazione in modo che i termini che contengono (x ) siano a sinistra e i termini che contengono solo numeri siano a destra. Innanzitutto, sottrai 10 da ciascun lato:

avere compassione nello sport include tutto quanto segue tranne:
$$ 5x = 17 + 3x $$

Quindi sottrai 3 (x ) da ciascun lato per ottenere tutti i valori (x ) a sinistra e ti ritroverai con:

$$ 2x = 17 $$

Infine, dividendo entrambi i lati per 2 ottieni il valore di (x ):

$$ x = 8,5 $$

Nota che (x ) non deve essere sempre un numero intero.



Equazioni simultanee

Finora tutti gli esempi contenevano solo una variabile 'sconosciuta', (x ). Possiamo risolvere queste equazioni usando l'algebra per trovare il valore di (x ). Se ne hai uno sconosciuto, hai solo bisogno di un'equazione da risolvere per ottenere la risposta.

Tuttavia, cosa succede se hai un'equazione come (y ) = 4 (x ) + 5, dove ci sono due incognite , (x ) e (y )?

Potresti anche imbatterti in un'equazione più complessa in cui hai tre incognite, (x ), (y ) e (z ).

l'importanza dell'esercizio nella vita quotidiana

Per risolverli, la regola è che hai bisogno dello stesso numero di equazioni delle incognite. Tutte le equazioni devono essere vere per tutte le incognite. Ciò significa che hai bisogno di due equazioni per due incognite, tre equazioni per tre incognite e così via.

Le equazioni simultanee sono un insieme di due equazioni, che coinvolgono entrambe le stesse variabili sconosciute, entrambe vere. Sono indicati come simultanea perché si risolvono insieme.

Le equazioni simultanee sono talvolta indicate da una lunga parentesi graffa per collegarle tra loro.

Il metodo per risolvere equazioni simultanee con le variabili (x ) e (y ) è:

  • Per prima cosa riorganizza un'equazione per ottenere un'espressione o un valore per (x ). L'equazione riorganizzata può essere (x ) = un numero, oppure può essere un'espressione dove (x ) = una funzione di (y ) (cioè (y ) esiste ancora come sconosciuto nell'equazione ). Potresti vederlo scritto come (x ) = ƒ ( (y )), che significa semplicemente ' (x ) è una funzione di (y )'.

  • Una volta che hai un valore o un'espressione per (x ), puoi sostituirlo nell'altra equazione per trovare il valore di (y ). Questa nuova equazione avrà solo uno sconosciuto, (y ).

  • Infine, se la tua risposta (x ) =? dal passaggio (1) contiene ' (y )', quindi è possibile sostituire il valore di (y ) dal passaggio (2) nell'espressione (x ), per trovare il valore di (x ).

Esempio elaborato 1: quando x può essere risolto come valore nel passaggio 1.

$$ biggl { begin {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 end {eqnarray} $$

Se 2 (x ) = 6, allora ( boldsymbol {x} ) = 3 .

Sostituendo 3 per (x ) nella seconda equazione, puoi risolverlo per scoprire cos'è (y ).

$$ y = (4 times 3) + 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$


Esempio elaborato 2: quando il passaggio 1 fornisce (x = ƒ (y) )

$$ biggl { begin {eqnarray} x - y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 end {eqnarray} $$

Passo 1 : Se (x ) & meno; (y ) = 1, quindi (x ) = 1 + (y )

Passo 2 : Sostituendo questo nella seconda equazione si ottiene 2 (1 + (y )) + 3 (y ) = 27

Espandendo le parentesi si ottiene 2 + 2 (y ) + 3 (y ) = 27

Quindi 2 + 5 (y ) = 27

Quindi 5 (y ) = 25, dando la soluzione ( boldsymbol {y} ) = 5.

Passaggio 3 : Sappiamo che (x ) - (y ) = 1, quindi ( boldsymbol {x} ) = 6.


Equazioni quadratiche

Un'equazione che assume la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) è chiamata a equazione quadrata .

( boldsymbol {a} ), ( boldsymbol {b} ) e ( boldsymbol {c} ) sono tutti numeri, e in una data equazione possono essere tutti uguali o diversi. Possono anche essere negativi o positivi.

Esempi di equazioni quadratiche sono:

  1. ( simbolo in grassetto {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ). In questa equazione, (a ) = 2, (b ) = 5 e (c ) = 10.

  2. ( boldsymbol {3x ^ 2 - 3x + 9 = 0} ). In questa equazione, (a ) = 3, (b ) = -3 e (c ) = 9.

  3. ( boldsymbol {52x ^ 2 + x} ) & meno; ( boldsymbol {45 = 0} ). In questa equazione, (a ) = 52, (b ) = 1 e (c ) = & meno; 45.

Curve paraboliche ed equazioni quadratiche


Le equazioni quadratiche sono molto importanti in matematica e scienze. Sono la 'descrizione' matematica di una curva parabolica (parabola). Per ulteriori informazioni sulle parabole e altre forme curve note come sezioni coniche, vedere la nostra pagina su cerchi, ellissi, parabole e iperboli . I valori di (a ), (b ) e (c ) nell'equazione quadratica descrivono la forma della curva e dove è posizionata all'interno di un insieme di coordinate cartesiane (assi xey). Per ulteriori informazioni, vedere la nostra pagina su coordinate cartesiane .

Una parabola disegnata da un'equazione quadratica dove (a ) = 1, (b ) = −4 e (c ) = 5 ha questo aspetto:

Una parabola disegnata da un

Esistono diversi modi per risolvere queste equazioni:

1. Fattorizzando

In matematica, fattori sono cose che si moltiplicano insieme. La fattorizzazione è un processo utilizzato per crearne due fattori dall'espressione quadratica che può essere moltiplicata insieme. Questi fattori sono insiemi di parentesi con una semplice espressione lineare contenente (x ) all'interno di ciascuna di esse.

Si crea un'equazione quadratica moltiplicando due espressioni tra parentesi ( (x ) + un numero) ( (x ) + un altro numero). Ciò significa che ognuno che ha una soluzione può essere scritto in questa forma a due parentesi.

Questo è l'opposto del metodo FOIL per espandere le parentesi descritto sopra. Espandendo due serie di parentesi moltiplicate insieme si ottiene:

$$ boldsymbol {(x + m) (x + n) = x ^ 2 + (m + n) x + mn} $$

Ciò significa che quando hai un'equazione nella forma (x ^ 2 + bx + c ), stai cercando due numeri in modo tale che quando vengono moltiplicati ottieni (c ), e quando vengono aggiunti ottieni (b ). Normalmente sarai in grado di vedere subito se questi esistono come numeri interi.

Solo le equazioni quadratiche più semplici possono essere fattorizzate facilmente. Se non sei riuscito a risolverlo con la fattorizzazione dopo un paio di minuti, è meglio provare un metodo diverso.

Esempio lavorato


$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$

Sai che 4 × 5 = 20 e 4 + 5 = 9.

Le due parentesi sono quindi ( (x ) + 4) ( (x ) + 5).

Questa espressione deve essere uguale a zero, quindi (x ) + 4 = 0 o (x ) + 5 = 0.

Le due soluzioni dell'equazione sono ( boldsymbol {x} ) = −4 e ( boldsymbol {x} ) = −5 .

Perché ci sono due soluzioni a un'equazione quadratica?


Perché il grafico ha la forma di una parabola.

Di seguito è riportato il grafico dell'equazione utilizzata nell'esempio sopra (y ) = (x )Due+ 9 (x ) + 20.

I due valori di (x ) sono noti come le radici dell'equazione. Questi sono i valori di (x ) quando (y ) = 0. Sul grafico, (y ) = 0 sull'asse x. I punti (x ) = −4 e (x ) = −5 sono quindi dove la curva dell'equazione incrocia l'asse x. Il valore minimo di (y ) (il punto più basso della curva) si trova tra (x ) = −4 e (x ) = −5. È solo possibile vedere la curva che scende sotto l'asse x su questo grafico.

Guardando di nuovo l'equazione, quando (x ) = 0, allora (y ) = 20. Sul grafico, possiamo vedere che la curva incrocia l'asse y ( (x ) = 0) in + 20. Questo è noto come intercetta y ed è sempre il valore di (c ) in un'equazione quadratica.

per capirlo bisogna studiare le fonti della vita
Grafico dell

2. Utilizzo di una formula

Se i due fattori non sono evidenti, il passaggio successivo consiste nell'utilizzare una formula. Tutte le equazioni quadratiche che possono essere risolte daranno una risposta usando la formula:

$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$

In questo caso, (a ) è il coefficiente di (x )Due, (b ) di (x ) e (c ) è il numero alla fine quando l'equazione è nella forma (ax )Due+ (bx ) + (c ) = 0.

Qualsiasi equazione che abbia solo termini con (x )Due, (x ) e i numeri possono essere trasformati nella forma (ax )Due+ (bx ) + (c ) = 0, quindi risolto utilizzando la formula.

Poiché puoi avere (b ) più o meno la radice quadrata, le equazioni quadratiche hanno sempre due soluzioni, come mostrato nella casella delle informazioni sopra. Sono chiamate radici dell'equazione e la ragione di ciò è più ovvia quando guardiamo la formula (( pm sqrt) ).

È importante ricordare che alcune equazioni quadratiche non hanno una risposta 'reale'.

Ad esempio, se (b )Due&meno; 4 (ac ) è negativo, quindi non ci sarà una risposta reale, perché non puoi avere una radice quadrata di un numero meno, tranne nella forma di un numero immaginario (c'è di più sui numeri immaginari sulla nostra pagina su numeri e concetti speciali ).


3.Completamento della piazza

Se la tua equazione quadratica non può essere fattorizzata, un'alternativa all'uso della formula è un metodo chiamato completando la piazza . È forse il metodo più complicato da capire. Richiede di riorganizzare l'equazione in modo che diventi un ' perfetto trinomio quadrato '(Un trinomio è un'espressione matematica con tre termini).

Sembra molto complicato, ma è solo 'matematica' per dire che puoi usare questo metodo per convertire un'equazione quadratica da una che non può essere fattorizzata in una che può essere fattorizzata, e puoi trovare la soluzione calcolando la sua radice quadrata.

Questo metodo funziona solo per (ax )Due+ (bx ) + (c ) = 0 quando (a ) = 1. Se (b ) è pari, allora anche meglio.

Per risolvere l'equazione, dobbiamo introdurre un'altra espressione:

$$ (x + frac b2) ^ 2 + c $$

Questa espressione può essere espansa per dare

$$ x ^ 2 + bx + sinistra ( frac b2 destra) ^ 2 + c $$

È la stessa dell'equazione quadratica originale, ma con un termine aggiuntivo (( frac b2) ^ 2 )

L'equazione originale può quindi essere riscritta come nuova espressione, meno il termine aggiuntivo:

$$ (x + frac b2) ^ 2 - sinistra ( frac b2 destra) ^ 2 + c = 0 $$

Riorganizzare questa nuova equazione dà

$$ (x + frac b2) ^ 2 = -c sinistra ( frac b2 destra) ^ 2 $$

Questo può essere risolto prendendo la radice quadrata di ciascun lato.

Il seguente esempio funzionante rende questo metodo più facile da capire:

Trova i valori di ( boldsymbol {x} ) quando ( boldsymbol {x} )Due&meno; 18 ( boldsymbol {x} ) + 72 = 0

Per prima cosa completi il ​​quadrato aggiungendo (( frac b2) ^ 2 ) a ciascun lato.

In questo caso questo termine aggiuntivo è ((18 ÷ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 )

$$ x ^ 2 - 18x + 81 = -72 + 81 $$

Successivamente si fattorizza il lato sinistro:

$$ (x - 9) (x - 9) = 9 $$

Questo è lo stesso di

$$ (x - 9) ^ 2 = 9 $$

Puoi vedere che usando questo metodo, il lato sinistro dell'equazione originale è stato convertito in un file perfetto trinomio quadrato . Questo può essere risolto prendendo le radici:

$$ x - 9 = pm sqrt {9} $$ $$ x = 9 pm 3 $$

Conclusione

Dopo aver letto questa pagina e seguito gli esempi, ora dovresti sentirti più sicuro della tua capacità di gestire equazioni anche piuttosto complesse.

Ricorda solo la regola d'oro:

Fai sempre la stessa cosa su ogni lato dell'equazione

Se lo fai, starai bene.


Continuare a:
Analisi statistica semplice
Insiemistica