Trasformazioni semplici di forme bidimensionali

Guarda anche: Proprietà dei poligoni

Le forme piane in due dimensioni (disegnate su un pezzo di carta piatto per esempio) hanno proprietà misurabili oltre alle misurazioni fisiche di lunghezze laterali, angoli interni e area. Possono subire trasformazioni , per cui possono cambiare posizione o dimensione o 'proporzioni' (quanto sono alti e sottili o corti e larghi).

Questa pagina esplora congruenza, simmetria, riflessione, traslazione e rotazione . Questi concetti riguardano il modo in cui una forma è posizione modifiche, rispetto a un riferimento, come una linea o un punto.

Ci troviamo di fronte a queste idee regolarmente nella vita di tutti i giorni, in tutto, dal design del prodotto, all'architettura e all'ingegneria, agli eventi nel mondo naturale. Anche l'abbinamento del motivo su un rotolo di carta da parati implica queste idee geometriche.




Congruenza

La matematica è piena di terminologia complessa, ma a volte un termine complicato può significare qualcosa di veramente semplice. Questo è vero per la congruenza.



Due forme che sono congruente avere il stessa misura e il stessa forma . E 'così semplice!

Nel diagramma sottostante, le forme PER , B , C e D sono tutti congruenti. Le forme E, F, G e H non sono congruenti.

Congruenza

Le forme possono essere congruenti anche se sono state ruotate o riflesse.


Prendi un pezzo di carta da lucido e traccia la forma A. La forma tracciata può essere posizionata Esattamente sopra la forma B. Devi farlo ruotare di 90 °, ma è sempre lo stesso.

Per adattare la forma tracciata A alla forma C, è necessario capovolgere la carta da lucido. Questo è un riflessione di forma A, ma è sempre lo stesso.

Quindi se lo ruoti ancora un po ', raggiungi la forma D.



Ora prendi la tua forma tracciata A e cerca di adattarla esattamente sulle forme E, F, G e H. Non importa quante volte ruoti o capovolgi la carta, non si adatterà esattamente. Queste forme quindi non possono essere descritte come congruenti con le forme A, B, C e D.

La congruenza è comparativa


La forma A non può essere descritta da sola come 'congruente'. Se guardi la forma A da sola, puoi dire che è un esagono irregolare e puoi misurarne il perimetro e l'area. Tuttavia, non può essere descritto come congruente fino a quando non c'è un'altra forma con cui confrontarlo.

La forma G, ad esempio, non è congruente con nessuna delle altre forme nel nostro diagramma. Ma se hai un gruppo di forme tutte uguali alla forma G, la forma G sarebbe congruente con tutte quelle forme.


Simmetria

Una forma può essere descritta come simmetrico se ha una proprietà che i matematici chiamano simmetria .



La forma più semplice di simmetria è simmetria di linea .

La simmetria lineare è una forma di riflessione (che è trattato più avanti in questa pagina) ed è talvolta indicato come simmetria speculare . Ciò significa che se si dovesse posizionare uno specchio lungo la linea di simmetria, il riflesso della forma nello specchio sarebbe identico alla forma senza lo specchio in posizione.

La lettera A, ad esempio, ha un'unica linea verticale di simmetria, dall'apice alla base:

Simmetria della A maiuscola



È possibile che le forme abbiano più linee di simmetria. Infatti, per i poligoni regolari, il numero di linee di simmetria è uguale al numero di lati della forma . Quindi un esagono (sei lati) ha sei linee di simmetria e un dodecagono (12 lati) ha 12 linee di simmetria. Un cerchio ha quindi un numero infinito di linee di simmetria.

Linee di simmetria

Asimmetria

come calmarsi prima di un discorso

Se una forma non ha linee di simmetria, come la forma nell'esempio di congruenza, viene descritta come asimmetrico . Questo è vero anche per il trapezio e il parallelogramma mostrati nel diagramma sopra.

Un'altra forma comune di simmetria è simmetria rotazionale . Se ruoti qualcosa, semplicemente lo giri. Questo è lo stesso con la simmetria rotazionale - la forma viene ruotata un numero esatto di volte attorno a un punto .

Il ordine di simmetria rotazionale è il numero di volte in cui la forma viene replicata in una rotazione completa . Le ripetizioni sono sempre ad angoli regolari, come i lati di un poligono regolare.

Logo di riciclaggio - simmetria rotazionale.

L'esempio più comunemente riconosciuto di simmetria rotazionale è forse il simbolo del riciclaggio con tre frecce.

Questo logo familiare ha un'estensione simmetria rotazionale dell'ordine 3 , ovvero la forma viene replicata tre volte quando viene ruotata attorno al punto centrale del logo.

Qualsiasi forma può avere simmetria rotazionale: il diagramma seguente mostra la forma A dal nostro esempio di congruenza, con un ordine di 4 :

Simmetria rotazionale

Riflessione

Nella sezione sulla simmetria speculare sopra, abbiamo appreso che se uno specchio è posizionato lungo la linea di simmetria, l'immagine riflessa ha lo stesso aspetto dell'immagine senza lo specchio. Questo è un tipo specifico di riflessione. UN linea dello specchio o linea di riflessione può esistere ovunque rispetto a una forma, non solo lungo una linea di simmetria. L'immagine della forma sull'altro lato della linea dello specchio è la sua riflessione .

Nello schema seguente, PER è la forma originale. La riflessione più semplice da capire è quando forma PER si riflette in una linea di specchio verticale parallela al suo lato più lungo. La forma riflessa è B .

Una linea a specchio può essere posizionata ovunque e con qualsiasi angolazione rispetto alla forma originale. La linea diagonale dello specchio si trova a circa 45 ° dal lato più lungo della forma PER e la forma riflessa è C .

Trasformazione della forma: forma riflessa su una linea speculare verticale e diagonale.

Disegnare forme riflesse

Quando devi disegnare il riflesso di una forma su una pagina, puoi avere un'idea di come sarà usando uno specchio.

Puoi tracciare la tua immagine su carta da lucido, quindi piegare la carta lungo la linea di riflessione (o linea di specchio) e quindi tracciare il riflesso. Ma se hai bisogno di disegnarlo accuratamente, avrai bisogno di carta millimetrata e un approccio logico.

Come disegnare riflessi su una linea di specchio.

Nel diagramma sopra, il triangolo originale è etichettato ABC. La linea dello specchio è disegnata in rosso ed è etichettata linea di riflessione .
Il triangolo ABC riflesso nella linea dello specchio è il triangolo A’B’C ’.

Le regole della riflessione

  • Ogni punto e il suo riflesso sono esattamente alla stessa distanza dalla linea dello specchio.

  • La linea che collega un punto con il suo riflesso è perpendicolare (ad angolo retto) alla linea dello specchio.


Nel diagramma, la linea che collega il punto A ad A 'è chiamata a linea di costruzione e illustra queste regole: la distanza tra A e la linea dello specchio è uguale alla distanza tra A 'e la linea dello specchio; e la linea di costruzione è perpendicolare alla linea dello specchio (indicata dal quadratino al centro).

Quando disegni una forma riflessa, devi utilizzare questo approccio sistematico:

  • Inizia da un angolo (punto A nel nostro esempio) e traccia una linea di costruzione da quel punto attraverso la linea dello specchio. Usa un goniometro o un quadrato fisso per assicurarti che questa linea sia ad angolo retto rispetto alla linea dello specchio.

  • Misurare accuratamente la distanza lungo la linea di costruzione dal punto (A) alla linea dello specchio e prendere nota della misurazione. Partendo dal punto in cui la linea di costruzione e la linea dello specchio si intersecano (si incrociano), ora misura la stessa distanza lungo la linea di costruzione sul lato opposto della linea dello specchio e disegna un punto in questo punto. Questo è il tuo punto A '.

  • Ripeti il ​​processo per i punti B e C (o più, a seconda della forma), quindi unisci attentamente i punti riflessi nell'ordine in cui li hai disegnati, per creare la tua forma riflessa.

Sembra tutto molto complicato ma diventa più facile con la pratica. Può essere un esercizio divertente per affinare le tue abilità spaziali.


Traduzione

La traduzione è un altro di quei termini matematici che suona molto più difficile di quanto non sia. In effetti è davvero facile!

La traduzione è il movimento di una forma da un luogo all'altro senza rotazione o riflessione.

Vale a dire, se ogni punto della forma originale si muove lungo una linea retta, esattamente alla stessa distanza e esattamente nella stessa direzione (con lo stesso angolo), allora questa è una traduzione di quella forma.

Traduzione della forma

Il diagramma sopra illustra la traslazione: ogni punto nella forma a sinistra viene spostato di quattro quadrati a destra.

Tuttavia, il diagramma seguente non può essere descritto come una traduzione, perché la forma lo è entrambi tradotto (spostato in linea retta) e ruotato:

Non una traduzione - tradotta e ruotata.

Una nota sui vettori


Nel diagramma sottostante, ogni punto sulla forma originale è tradotto cinque quadrati a destra e due quadrati verticalmente in basso:

Esempio di vettore di colonna

Uno strumento matematico chiamato a colonna vettore può essere utilizzato per descrivere questa traduzione. Si tratta di due numeri tra parentesi allineati verticalmente (in una colonna).

Quindi ( begin {bmatrix} 5 \ -2 end {bmatrix} ) è la traduzione di 5 unità a destra e 2 unità verso il basso.

I vettori sono presentati nella forma ( begin {bmatrix} x \ y end {bmatrix} )

Dove (X ) è l'asse orizzontale (traslazioni positive a destra, negative a sinistra) e (Y ) è l'asse verticale (positivo verso l'alto, negativo verso il basso, da qui il motivo per cui la traduzione di due unità verso il basso è scritta −2).

Per saperne di più (X ) e (Y ) assi, vedere la nostra pagina su coordinate cartesiane .

I vettori sono incredibilmente utili in matematica, perché sono in grado di descrivere cose che hanno sia l'ampiezza che la direzione . I vettori sono molto importanti in molte applicazioni e lo studio del movimento ne è un esempio. In questo caso, le quantità vettoriali includono velocità , accelerazione , vigore , Dislocamento e quantità di moto .


Rotazione

Abbiamo scoperto il concetto di rotazione di una forma nella sezione di simmetria rotazionale sopra. Nel caso della simmetria rotazionale, la forma è stata ruotata e ripetuta a precisi intervalli angolari attorno al suo centro.

Rotazione di una forma senza simmetria può essere di qualsiasi angolo, orario o antiorario, attorno a un singolo punto. Questo punto è importante e si chiama centro di rotazione .

Il diagramma seguente mostra un triangolo A ad angolo retto ruotato attorno a un punto O. Il triangolo B è come appare quando viene ruotato in senso antiorario di 90 °. Il triangolo C è il triangolo A ruotato in senso orario di 180 °.

Rotazione. Diagramma che mostra un triangolo rettangolo ruotato di 90 e 180 gradi.

La regola della rotazione:


La distanza di qualsiasi punto della forma dal centro di rotazione rimane sempre la stessa.

Quindi, se dovessi prendere una bussola, posizionare il suo punto al centro di rotazione e unire l'apice di ciascuno dei triangoli nel diagramma sopra, allora avresti disegnato un cerchio perfetto, come indicato dal cerchio rosso.


Conclusione

Le forme bidimensionali si trovano raramente isolatamente nel mondo reale, ma vengono ripetute, riflesse, tradotte e ruotate. Queste sono quelle che i matematici chiamano trasformazioni. Troviamo esempi in tutto, dai loghi dei prodotti alle enormi strutture ingegneristiche e ai capolavori architettonici.

Esistono molti tipi di trasformazione matematicamente più complessi, per i quali diventano utili concetti più avanzati come i vettori. Sebbene questa pagina fornisca solo un'introduzione ad alcuni dei concetti di base, si spera che ti abbia lasciato molto da fare RIFLETTERE su!


Continuare a:
Area di calcolo
Angoli