Coordinate polari, cilindriche e sferiche

Guarda anche: Coordinate cartesiane

La nostra pagina su Coordinate cartesiane introduce il tipo più semplice di sistema di coordinate, in cui gli assi di riferimento sono ortogonali (ad angolo retto) tra loro. Nella maggior parte delle applicazioni quotidiane, come disegnare un grafico o leggere una mappa, useresti i principi dei sistemi di coordinate cartesiane. In queste situazioni, la posizione esatta e univoca di ciascun punto dati o riferimento della mappa è definita da una coppia di coordinate (x, y) (o (x, y, z) in tre dimensioni). Le coordinate sono l ''indirizzo' del punto, la sua posizione rispetto a una posizione nota chiamata origine , all'interno di una griglia bidimensionale o tridimensionale su una superficie piana o uno spazio 3D rettangolare.

Tuttavia, alcune applicazioni coinvolgono curvo linee, superfici e spazi. Qui, le coordinate cartesiane sono difficili da usare e diventa necessario utilizzare un sistema derivato da forme circolari, come i sistemi di coordinate polari, sferiche o cilindriche.


Perché le coordinate polari, sferiche e cilindriche sono importanti?

Nelle situazioni quotidiane, è molto più probabile che incontrerai sistemi di coordinate cartesiane piuttosto che polari, sferici o cilindrici. Tuttavia, le coordinate polari bidimensionali ei loro parenti tridimensionali vengono utilizzati in un'ampia gamma di applicazioni, dall'ingegneria e l'aviazione, all'animazione al computer e all'architettura.



Potrebbe essere necessario utilizzare le coordinate polari in qualsiasi contesto in cui vi sia simmetria circolare, sferica o cilindrica sotto forma di un oggetto fisico o un qualche tipo di movimento circolare o orbitale (oscillatorio).



Cosa significa?

Le forme o le strutture fisicamente curve includono dischi, cilindri, globi o cupole. Questi potrebbero essere qualsiasi cosa, dai recipienti a pressione contenenti gas liquefatti ai numerosi esempi di strutture a cupola in capolavori architettonici antichi e moderni.

I fisici e gli ingegneri usano le coordinate polari quando lavorano con una traiettoria curva di un oggetto in movimento (dinamica) e quando quel movimento viene ripetuto avanti e indietro (oscillazione) o in tondo (rotazione). Gli esempi includono il movimento orbitale, come quello dei pianeti e dei satelliti, un pendolo oscillante o una vibrazione meccanica. In un contesto elettrico, le coordinate polari vengono utilizzate nella progettazione di applicazioni che utilizzano corrente alternata; i tecnici audio li usano per descrivere la 'zona di ripresa' dei microfoni; e sono utilizzati nell'analisi della temperatura e dei campi magnetici.

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Un'enfasi sull'esplorazione


L'uso più familiare in un contesto quotidiano è forse nella navigazione. Gli esploratori nel corso della storia hanno fatto affidamento sulla comprensione delle coordinate polari.

Le navi e gli aeromobili navigano utilizzando bussole che indicano la direzione di viaggio (nota come a intestazione ) rispetto a una direzione nota, che è il Nord magnetico. La direzione è misurata come angolo dal Nord (0 °), in senso orario attorno alla bussola, quindi l'Est è 90 °, il Sud 180 ° e l'Ovest 270 °.

I satelliti GPS possono individuare la posizione di una nave con grande precisione nel mondo di oggi, ma anche adesso i marittimi e gli aviatori devono comprendere i principi della navigazione classica.



Come vengono definite le coordinate polari, sferiche e cilindriche?

In questi casi e in molti altri, è più appropriato utilizzare una misurazione della distanza lungo una linea orientata in a radiale direzione (con la sua origine al centro del cerchio, della sfera o dell'arco) combinata con un angolo di rotazione, piuttosto che usare un sistema di coordinate ortogonali (cartesiane).

La trigonometria può quindi essere utilizzata per convertire tra i due tipi di sistema di coordinate. Per ulteriori informazioni su questo e sulla teoria alla base, dai un'occhiata alle nostre pagine su forme curve , forme tridimensionali e trigonometria .

Coordinate polari

Coordinate polari



Nelle applicazioni matematiche in cui è necessario utilizzare coordinate polari, qualsiasi punto del piano è determinato dalla sua distanza radiale (r ) dall'origine (il centro di curvatura o una posizione nota) e un angolo theta ( theta ) (misurato in radianti).

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L'angolo ( theta ) è sempre misurato da (X ) -asse rispetto alla linea radiale dall'origine al punto (vedi diagramma).

Allo stesso modo in cui un punto in coordinate cartesiane è definito da una coppia di coordinate ( (x, y )), in coordinate radiali è definito dalla coppia ( (r, theta )). Usando Pitagora e la trigonometria, possiamo convertire tra coordinate cartesiane e polari:



$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 quad text {e} quad tan theta = frac {y} {x} $$

E di nuovo:

$$ x = r cos theta quad text {e} quad y = r sin theta $$

Sistemi di coordinate sferiche e cilindriche

Questi sistemi sono i parenti tridimensionali del sistema di coordinate polari bidimensionale.

Coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche sono più semplici da capire rispetto a quelli sferici e sono simili al sistema cartesiano tridimensionale (x, y, z). In questo caso, il piano ortogonale x-y viene sostituito dal piano polare e l'asse z verticale rimane lo stesso (vedi diagramma).

La conversione tra sistema cilindrico e sistema cartesiano è la stessa del sistema polare, con l'aggiunta della coordinata z, che è la stessa per entrambi:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {e} quad z = z $$

$$ x = r cos theta, quad y = r sin theta quad text {e} quad z = z $$

Superfici nel sistema cilindrico:


  • Se rendi (z ) una costante, hai un piano circolare piatto.
  • Se rendi ( theta ) una costante, hai un piano verticale.
  • Se rendi (r ) costante, hai una superficie cilindrica.

Coordinate sferiche

Il sistema di coordinate sferiche è più complesso. È molto improbabile che lo incontri nelle situazioni quotidiane. Viene utilizzato principalmente in complesse applicazioni scientifiche e ingegneristiche. Ad esempio, i campi elettrici e gravitazionali mostrano simmetria sferica.

Coordinate sferiche definire la posizione di un punto con tre coordinate rho ( ( rho ) ), theta ( ( theta )) e phi ( ( phi )).

( rho ) è la distanza dall'origine (simile a (r ) in coordinate polari), ( theta ) è uguale all'angolo in coordinate polari e ( phi ) è l'angolo tra i (con) -asse e la linea dall'origine al punto.

Allo stesso modo della conversione tra coordinate cartesiane e polari o cilindriche, è possibile convertire tra coordinate cartesiane e sferiche:

$$ x = rho sin phi cos theta, quad y = rho sin phi sin theta quad text {e} quad z = rho cos phi $$

$$ p ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {e} quad tan phi = frac { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} $$

Superfici in un sistema sferico:


  • Se rendi ( rho ) una costante, hai una sfera.
  • Se rendi ( theta ) una costante, hai un piano verticale.
  • Se rendi ( phi ) una costante, hai un piano orizzontale (o un cono).

Latitudine e longitudine, mappe e navigazione

L'applicazione più familiare delle coordinate sferiche è il sistema di latitudine e longitudine che divide la superficie terrestre in una griglia per scopi di navigazione. Le distanze tra le linee sulla griglia non vengono misurate in miglia o chilometri, ma in gradi e minuti.

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Le linee di latitudine sono sezioni orizzontali attraverso il globo. La fetta all'equatore è a 0 ° di latitudine ei poli sono a ± 90 °. Queste linee sono chiamate parallele.

Le linee di longitudine sono come le zeppe di un'arancia, misurate radialmente da una linea verticale di simmetria che collega i poli. Queste linee sono chiamate meridiani. La linea di riferimento di 0 ° di longitudine è conosciuta come il meridiano di Greenwich, che passa attraverso il Royal Observatory di Greenwich, Londra.

La terra

Tuttavia, per utilizzare questo sistema 3D per la navigazione, la griglia curva deve essere trasferita su 'carte' piatte (mappe delle coste e del fondo oceanico per i marittimi) utilizzando un proiezione . In questo modo, i grafici possono essere utilizzati come mappe convenzionali con un sistema di griglia ortogonale e possono essere applicate le regole delle coordinate cartesiane.

Per prima cosa immagina di avvolgere un pezzo di carta attorno a un globo, creando un cilindro. L'immagine sul grafico viene proiettata dalla sfera tridimensionale sul foglio di carta bidimensionale. Questo è un metodo specifico utilizzato dai cartografi chiamato Proiezione di Mercatore .

Le linee della griglia su una carta nautica sono ancora in gradi e minuti e le distanze sono misurate in miglia nautiche. Un miglio nautico equivale a un minuto di latitudine.


Conclusione

È improbabile che sia necessario utilizzare coordinate polari o sferiche a meno che non si lavori in un ruolo che lo richiede specificamente, ma è utile essere consapevoli di cosa sono e di come vengono utilizzate.

È anche affascinante capire come una mappa di una forma 3D come il globo possa essere tradotta in carte piatte che hanno permesso ai marittimi di viaggiare per il globo per centinaia di anni.


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