Introduzione alla trigonometria

Guarda anche: Geometria un'introduzione

La trigonometria, come suggerisce il nome, riguarda i triangoli.

Più specificamente, la trigonometria riguarda triangoli ad angolo retto, dove uno degli angoli interni è di 90 °. La trigonometria è un sistema che ci aiuta a calcolare lunghezze laterali o angoli mancanti o sconosciuti in un triangolo.

C'è di più sui triangoli nella nostra pagina su Poligoni se hai bisogno di rispolverare le basi prima di leggere ulteriormente qui.



Triangoli ad angolo retto: un promemoria

Un triangolo rettangolo ha un unico angolo retto. Per definizione, ciò significa che tutti i lati non possono avere la stessa lunghezza. Di seguito è mostrato un tipico triangolo rettangolo.

Termini importanti per triangoli ad angolo retto


Triangolo ad angolo retto che mostra l
  • Il angolo retto è indicato dalla piccola scatola nell'angolo.



  • L'altro angolo che (di solito) conosciamo è indicato da θ (theta) .

  • Il lato opposto all'angolo retto, che è il lato più lungo, è chiamato ipotenusa .

  • Il lato opposto θ è chiamato di fronte .



  • Il lato accanto a θ che non è l'ipotenusa è chiamato adiacente .

Teorema di Pitagora contro trigonometria


Pitagora era un filosofo greco vissuto oltre 2500 anni fa. È accreditato con una serie di importanti scoperte matematiche e scientifiche, probabilmente la più significativa delle quali è diventata nota come Teorema di Pitagora.

È una regola importante che si applica solo ai triangoli ad angolo retto . Lo dice 'Il quadrato sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati sugli altri due lati.'

Sembra piuttosto complicato, ma in realtà è un concetto abbastanza semplice quando lo vediamo in un diagramma:

quanti minuti in 2 ore e mezza
Pitagora

Il Teorema di Pitagora dice:

perDue+ bDue= cDue

Quindi, se conosciamo la lunghezza di due lati di un triangolo e dobbiamo calcolare il terzo, possiamo usare il Teorema di Pitagora.

Tuttavia, se conosciamo solo una lunghezza del lato e uno degli angoli interni, Pitagora non ci serve da solo e dobbiamo usare la trigonometria.


Introduzione di seno, coseno e tangente

Ci sono tre funzioni di base nella trigonometria, ognuna delle quali è un lato di un triangolo rettangolo diviso da un altro.

Le tre funzioni sono:

Nome Abbreviazione Relazione con i lati del triangolo
Sine Senza Sin (θ) = Opposto / ipotenusa
Coseno Qualcosa Cos (θ) = Adiacente / ipotenusa
Tangente Così Tan (θ) = Opposto / adiacente


Calcolo di seno, coseno e tangente

Potresti trovare utile ricordare Sine, Cosine e Tangent come SOH CAH TOA.

Ricordare le funzioni trigonometriche può essere difficile e confuso all'inizio. Anche SOH CAH TOA può essere complicato. Potresti provare a inventare uno mnemonico divertente per aiutarti a ricordare. Mantieni semplicemente ogni gruppo di tre lettere nello stesso ordine.

quali sono le capacità di pensiero critico



Ad esempio, TOA SOH CAH potrebbe essere ' T lui O ld PER un archeologo S a O n H è C avena PER nd H a'.

Suggerimento!


A causa delle relazioni tra loro, Tan θ può anche essere calcolato come:
Peccato θ / Cos θ.

Ciò significa che:

  • Sin θ = Cos θ × Tan θ e
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Trigonometria in un cerchio

Per ulteriori informazioni sulle cerchie o per un rapido aggiornamento, consulta la nostra pagina su Cerchi e forme curve .

Quando si considerano i triangoli, siamo limitati ad angoli inferiori a 90 °. Tuttavia, la trigonometria è ugualmente applicabile a tutti gli angoli, da 0 a 360 °. Per capire come funzionano le funzioni trigonometriche con angoli maggiori di 90 °, è utile pensare ai triangoli costruiti all'interno di un cerchio.

Le coordinate cartesiane di un cerchio.



Considera un cerchio, diviso in quattro quadranti.

Convenzionalmente, il centro del cerchio è considerato come una coordinata cartesiana di (0,0). Cioè, il valore x è 0 e il valore y è 0. Per ulteriori informazioni su questo, vedere la nostra pagina su coordinate cartesiane .

Qualsiasi cosa a sinistra del centro ha un valore x inferiore a 0 , o è negativo, mentre qualsiasi cosa a destra ha un valore positivo.

Allo stesso modo qualsiasi cosa sotto il punto centrale ha un valore y inferiore a 0 o è negativo e qualsiasi punto nella parte superiore del cerchio ha un valore y positivo.


Utilizzo di un cerchio con funzioni trigonometriche per angoli maggiori di 90 °.

Diagramma io mostra cosa succede se tracciamo un raggio dal centro del cerchio a destra lungo l'asse x (diciamo che è in una direzione positiva).

Quindi ruotiamo il raggio in senso antiorario di un angolo theta θ. Questo crea un triangolo ad angolo retto.

Senza θ = opposto (linea rossa)
ipotenusa (linea blu)

Cos θ = adiacente (linea verde)
ipotenusa (linea blu)

Nel Diagramma yl , abbiamo ruotato ulteriormente il raggio in senso antiorario, oltre la verticale (asse y) nel quadrante successivo. Qui θ è un angolo ottuso, compreso tra 90 ° e 180 °. L'angolo di riferimento alfa α è uguale a 180 ° - θ ed è l'angolo acuto all'interno del triangolo rettangolo.

Peccato θ = Peccato α = opposto (linea rossa)
ipotenusa (linea blu)

Sia la linea blu che quella rossa sono positive, quindi sin θ è positivo.

Cos θ = −Cos α = adiacente (linea verde)
ipotenusa (linea blu)

Cos θ è negativo, poiché la linea verde è negativa (si trova lungo l'asse x a sinistra dell'origine (0,0), quindi è nella sezione negativa dell'asse x).

Nel Diagramma iii , il raggio ha ruotato ulteriormente in senso antiorario nel quadrante successivo in modo che il valore di θ sia compreso tra 180 ° e 270 °. Le linee verde, rossa e blu hanno tutte valori negativi e α = θ - 180 °. Seno e coseno sono quindi tutti di valore positivo.

Diagramma iv mostra il quadrante finale. Il valore di θ è compreso tra 270 ° e 360 ​​°, la linea verde è positiva, ma le linee rossa e blu sono negative. Sin θ è quindi positivo e Cos θ è negativo. α = 360 ° - θ.


Il cerchio delle unità

Il 'Unit Circle' è un caso speciale del cerchio mostrato nei diagrammi sopra. Il cerchio unitario ha un raggio di 1.

Quando si lavora con un cerchio unitario possiamo misurare direttamente cos, sin e tan:

Seno, coseno e tangente - Circonferenza unitaria

Grafici di seno, coseno e tangente

La relazione tra l'angolo e il seno o cos può essere tracciata come un grafico:

  • y = sin (θ)
  • y = cos (θ)
Grafico seno, coseno. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Puoi vedere che quando θ è 0, allora lo è anche il seno. Questo ha senso quando guardi il diagramma del cerchio unitario sopra. Quando θ = 0, l'adiacente e l'ipotenusa giacciono entrambi lungo l'asse x positivo e la linea rossa che mostra il valore di sin θ scompare (non c'è triangolo).

Il grafico del coseno ha la stessa forma del seno, ma ha un valore di 1 quando θ = 0. Guardando di nuovo il cerchio sopra, quando θ = 0, l'adiacente e l'ipotenusa si trovano entrambi lungo l'asse x positivo e hanno lo stesso valore, quindi adiacente / ipotenusa = 1.

La natura ciclica dei grafici seno e coseno è incredibilmente importante in tutta la scienza, la natura e l'ingegneria. Gli esempi includono applicazioni elettriche (corrente alternata), suoni e onde radio, semplice movimento armonico (come un pendolo oscillante), la traiettoria dei satelliti o l'alzarsi e abbassarsi della marea.

Il ampiezza di un modello d'onda ciclico è il valore del 'picco' nel grafico, cioè la distanza dall'asse x al valore massimo o minimo. Nei grafici seno e coseno sopra, l'ampiezza ha un valore di 1. In applicazioni come il suono o la corrente elettrica, l'ampiezza varia, a seconda del volume del suono o dell'intensità della corrente. Anche l'ampiezza delle maree varia, a seconda della posizione della luna e della sua 'attrazione' sulla terra.

Le caratteristiche del grafo tangente (tan θ) sono abbastanza diverse. Il grafico tangente non ha un'estensione ampiezza (caratteristiche ondulatorie) perché non ha valori di picco massimi o minimi. Cambia da −∞ a + ∞ (infinito negativo e positivo) attraversando 0 ogni 180 °:

Grafico delle linee tangenti.

All'infinito (positivo o negativo) si dice che sia non definito. Possiamo capire meglio questo grafico se consideriamo l'equazione tan θ = sin θ / cos θ. Ogni volta che sin θ è zero, allora anche tan θ deve essere zero. Al contrario, ogni volta che cos θ è zero, il denominatore nell'equazione diventa zero. Qualunque cosa divisa per zero ha un valore di infinito, quindi i valori di θ che hanno un coseno di zero hanno anche una tangente di infinito sul grafico. Infinity non ha un valore esatto, quindi le linee sul grafico tangente diventano sempre più verticali man mano che l'asse y aumenta a valori sempre maggiori. Le linee si avvicinano sempre di più alle linee verticali sul grafico per valori particolari di θ, ad esempio a 90 °. Ciascuna di queste linee verticali è chiamata un file asintoto .

quale delle seguenti linee guida rende una presentazione più efficace?

Inversa di seno, coseno e tangente

Puoi anche calcolare la funzione inversa a sin, cos e tan, che significa 1 diviso per quella funzione. Sono designati come sin / cos / tan -1. Ciò ti consente di calcolare l'angolo se ne hai il peccato, il perché o l'abbronzatura.

In altre parole:

  • Peccato (90) = 1
  • Peccato - 1 (1) = 90 °

Trigonometria e calcolatrici


Le calcolatrici scientifiche hanno funzioni sin, cos e tan, nonché funzioni inverse. Vale la pena dedicare qualche minuto per capire come funziona la calcolatrice, in quanto ciò potrebbe farti risparmiare ore di pasticci quando ne hai bisogno.


Altri triangoli e trigonometria

La trigonometria funziona anche per altri triangoli, ma non allo stesso modo. Invece ci sono due regole basate su un triangolo come questo:

Triangoli in trigonometria

La regola del seno è:

per/senza un=b/senza B=c/senza C

La regola del coseno è:

cDue= aDue+ bDue- 2ab cos (C)


Perché ho bisogno della trigonometria?

Questa è una domanda ragionevole, e la risposta è almeno in parte perché coloro che decidono il curriculum di matematica in molti paesi pensano che dovresti saperlo, e per ottime ragioni.

cosa prendere per calmare i nervi prima di una presentazione

Si dice che la trigonometria sia la relazione matematica più importante mai scoperta. I triangoli sono una delle forme più semplici che si trovano in natura, ma la loro matematica ha un'importanza vitale, soprattutto dove sono necessarie misurazioni precise della distanza. Quando iniziamo a pensare alle applicazioni in cui le distanze precise sono importanti, è evidente che ce ne sono dozzine, compresa la navigazione nei sistemi navali e aeronautici, astronomia, sistemi satellitari, rilievi geografici e cartografia (mappe), architettura e ingegneria strutturale, progettazione grafica e immagini generate al computer.

Molti di questi si basano su una tecnica di misurazione nota come triangolazione , che applica i concetti di trigonometria.

Esempio: trigonometria e navigazione

Quando navighi o navighi in mare, dove finisci è influenzato da:

  • La direzione in cui sterzi;
  • La velocità alla quale si viaggia in quella direzione (ovvero la velocità del motore o del vento); e
  • La direzione e la velocità della marea.

Puoi guidare in una direzione, ma la marea potrebbe provenire da un lato e spingerti verso l'altro. Avrai bisogno della trigonometria per capire quanto lontano viaggerai e in quale direzione precisa.

Calcola la direzione di viaggio usando la trigonometria.

Avrai, giustamente, capito che non è così semplice, perché l'effettiva direzione di viaggio dipende dalla velocità della marea e dalla tua velocità, ma probabilmente puoi capire perché la trigonometria potrebbe essere importante!


Esempio lavorato

Sei fuori per una giornata di navigazione e non ti importa davvero dove finisci. Hai iniziato in direzione est e hai intenzione di navigare per un'ora a una velocità di crociera di 10 km / h. La marea è diretta verso nord e scorre a 5 km / h. In che direzione finirai per viaggiare?

  1. Per prima cosa disegna il tuo triangolo e etichettare i lati. Ti stai dirigendo verso est, quindi facciamo in modo che il fondo del triangolo sia lungo 10 km. La marea ti spingerà a nord, quindi facciamolo sul lato destro. E vuoi sapere in quale direzione finirai per andare, quindi questo è l'angolo θ.

    Esempio di trigonometria
  2. Hai l'opposto e l'adiacente, il che significa che devi usare la tangente. Tan θ = Opposto / adiacente = 5/10 = 0,5.

  3. Ora è il momento di usare la funzione tan inversa. L'abbronzatura inversa di 0,5 è 26,6 °. In altre parole, tan 26,6 = 0,5.

  4. Bussola La direzione (la tua 'rotta' nella navigazione) è misurata dal nord , che è 0 ° sulla bussola. La tua risposta da (3), tuttavia, è misurata da 90 °, o Est. Dovrai quindi sottrarre la tua risposta da 90 °, per ottenere la risposta: Stai viaggiando in una direzione (prua) di 63,4 °, che è tra Nord Est (45 °) e Est Nord Est (67,5 °).

Perché questo è importante? Avrai bisogno di sapere in quale direzione hai viaggiato per tornare a casa, ovviamente!

Nella vita reale, dovrai anche ricordare che a quel punto la marea potrebbe essere cambiata ...


Conclusione

La trigonometria potrebbe non avere molte applicazioni quotidiane, ma ti aiuta a lavorare con i triangoli più facilmente. È un utile complemento alla geometria e alle misurazioni effettive e, come tale, vale la pena sviluppare una comprensione delle basi, anche se non si desidera mai progredire ulteriormente.

Continuare a:
Geometria
Introduzione all'algebra