Introduzione all'algebra

Guarda anche: Insiemistica

Molte persone lo pensano equazioni e algebra sono al di là di loro - il pensiero di dover lavorare con le equazioni li riempie di paura. Tuttavia, non è necessario aver paura delle equazioni.

La buona notizia è che le equazioni sono in realtà concetti relativamente semplici e con un po 'di pratica e l'applicazione di alcune semplici regole, puoi imparare a manipolarle e risolverle.

Questa pagina è progettata per introdurti alle basi dell'algebra, sperando che ti faccia sentire più a tuo agio nel risolvere semplici equazioni.



Cos'è un'equazione?


Un'equazione è costituita da due espressioni su entrambi i lati di un simbolo che indica la loro relazione.

Quella relazione può essere uguale a (=), minore di () o una combinazione. Ad esempio, minore o uguale a (≤) o anche diverso da (≠) o approssimativamente uguale a (≈) Questi sono noti come uguaglianza simboli.

Le equazioni semplici quindi includono 2 + 2 = 4 e 5 + 3> 3 + 4.

Tuttavia, quando la maggior parte delle persone parla di equazioni, intende equazioni algebriche.

Queste sono equazioni che coinvolgono lettere e numeri. Le lettere vengono utilizzate per sostituire alcuni dei numeri in cui un'espressione numerica sarebbe troppo complicata o in cui si desidera generalizzare piuttosto che utilizzare numeri specifici. Possono anche essere usati quando conosci i valori in una parte dell'equazione, ma altri sono sconosciuti e devi elaborarli.



Le equazioni algebriche vengono risolte calcolando quali numeri rappresentano le lettere.

Possiamo trasformare le due semplici equazioni di cui sopra in equazioni algebriche sostituendo (x ) per uno dei numeri:

2 + 2 = ( boldsymbol {x} )

Sappiamo che 2 + 2 = 4, il che significa che (x ) deve essere uguale a 4. La soluzione dell'equazione è quindi ( boldsymbol {x} ) = 4 .

quali sono alcune abilità di pensiero critico?
5 + 3> 3 + ( boldsymbol {x} )



Sappiamo che 5 + 3 = 8. L'equazione ci dice che 8 è maggiore di (>) 3 + (x ).

Abbiamo bisogno di riorganizzare l'equazione in modo che (x ) sia da una parte e tutti i numeri dall'altra, altrimenti non possiamo trovare il valore di (x ). La regola per riorganizzare le equazioni è quello che fai da una parte, lo devi fare anche dall'altra . C'è di più su questo di seguito.

Togli 3 da entrambi i lati (8-3 = 5), quindi l'equazione diventa

5> ( boldsymbol {x} )



Possiamo vedere che (x ) deve essere minore di 5 ( (X )<5 ).

Non possiamo dire più precisamente cosa sia (x ) con le informazioni che ci vengono fornite. Tuttavia, nell'equazione iniziale che abbiamo usato come esempio, abbiamo sostituito 4 per (x ), che è effettivamente inferiore a 5.

Non c'è magia nell'usare una 'x' riccia ( ({x} )). Puoi usare qualsiasi lettera che ti piace, anche se ({X} ) e ({Y} ) sono comunemente usati per rappresentare gli elementi sconosciuti delle equazioni.



Variabili e costanti

come si chiama una forma a sette lati?

Una lettera usata per sostituire un numero in algebra è chiamata a variabile , perché indica numeri diversi ogni volta che lo usi.

Questo è diverso da una lettera particolare che viene sempre utilizzata per sostituire lo stesso numero, come ( pi ) (pi) che è sempre 3.142. Una tale lettera è chiamata a costante .

In un'equazione algebrica, anche i numeri dati sono costanti, perché rimangono sempre gli stessi.

Se ti viene richiesto di risolvere un'equazione che coinvolge una costante, ti verrà sempre detto il suo valore.


Termini di un'equazione

Un termine è una parte dell'equazione che è separata da altre parti, di solito da un simbolo di addizione (+) o sottrazione (& meno;).

Un gruppo di termini è chiamato espressione, piuttosto come una frase o descrizione matematica. Alcune espressioni matematiche possono sembrare piuttosto spaventose, piene di numeri e lettere, alcune delle quali potrebbero persino essere greche. Tuttavia, la chiave è guardare ogni termine separatamente e suddividerlo in cose che conosci o che puoi elaborare. Se lo fai, inizierai a capire che non è sempre così difficile come pensavi.

I termini possono essere solo numeri, o possono essere solo lettere, oppure possono essere una combinazione di lettere e numeri, come 2 ( boldsymbol {x} ), 3 ( boldsymbol {xy} ) o 4 ( boldsymbol {x} )Due.

In un termine che comprende lettere e numeri, il numero è noto come coefficiente e la lettera è variabile . Il coefficiente è semplicemente un 'moltiplicatore': ti dice quanti elementi (la variabile) hai in quel termine.

Si dice che i termini che hanno esattamente la stessa variabile siano termini simili , e puoi sommarli, sottrarli, moltiplicarli o dividerli come se fossero semplici numeri. Per esempio:

L'equazione 2 (x ) + 3 (x ) è uguale a 5 (x ), semplicemente 2 lotti di (x ) più 3 lotti di (x ) per ottenere 5 lotti di ( x ) (5 (x )).

$$ 5xy - xy = 4xy $$ $$ 5y × 3y = 15y ^ 2 $$

voi non può aggiungere o sottrarre 'termini diversi'. Tuttavia, puoi moltiplicarli combinando le variabili e moltiplicando i coefficienti insieme.

Quindi, ad esempio, 3 (y ) × 2 (x ) = 6 (xy ) (perché 6 (xy ) significa semplicemente 6 volte (x ) volte (y )).

Puoi dividere termini diversi trasformandoli in frazioni e cancellandoli. Inizia con i numeri, poi le lettere.

Quindi, ad esempio:

( large {6xy ÷ 3x} )

$$ frac {6xy} {3x} $$ = $$ frac {2xy} {x} $$ = $$ frac {2y} {1} $$ = $$ 2a $$
Dividi la parte superiore
e in basso
di 3
Dividi la parte superiore
e in basso
di x
L'1 può essere
ignorato perché
nulla diviso
di 1 è se stesso

Riorganizzare e risolvere equazioni

In molti casi per risolvere un'equazione probabilmente sarà necessario riorganizzare esso. Ciò significa che è necessario spostare i termini in modo da finire con solo termini che coinvolgono (x ) su un lato del simbolo di uguaglianza (come =,> o<) and all the numbers on the other.

Questo processo è talvolta chiamato isolando (x ) .

Puoi riorganizzare le equazioni attraverso una serie di semplici regole:

  1. Qualunque cosa tu faccia da un lato dell'equazione, tu dovere fare lo stesso con l'altro. In questo modo preservi la relazione tra loro. Non importa quello che fai, che si tratti di togliere 2, aggiungere 57, moltiplicare per 150 o dividere per (x ). Finché lo fai su entrambi i lati, l'equazione rimane corretta. Può essere utile pensare alla tua equazione come a un insieme di scale o un'altalena, che deve essere sempre bilanciata.

  2. La nostra pagina su Aggiunta spiega che non importa in quale ordine aggiungi, la risposta è sempre la stessa. Ciò significa che puoi riorganizzare l'espressione per inserire l'estensione termini simili insieme e rendere più facile la somma. Questo vale per Sottrazione anche se ti ricordi dalla nostra pagina in poi Numeri positivi e negativi quella sottrazione equivale ad aggiungere un numero negativo . Quindi, ad esempio, 10 & meno; 3 = 10 + (-3).

  3. Le equazioni funzionano secondo BODMAS anche, quindi ricordati di fare il calcolo nell'ordine giusto.

    cosa significa simbolo in matematica?
  4. Ottieni sempre la tua equazione nella forma più semplice possibile: moltiplica le parentesi, dividi, cancella le frazioni e aggiungi / sottrai tutti i termini simili.

Esempi lavorati:

Prova a risolvere queste equazioni per (x ), fai clic sulle caselle per rivelare il funzionamento e le risposte.

$$ large {x + 3 = 5 × 4} $$
  • Come con qualsiasi calcolo, esegui prima la moltiplicazione. 5 × 4 = 20
  • Quindi (x ) + 3 = 20
  • Il prossimo passo è togliere tre da entrambi i lati
  • (x ) + 3 - 3 = 20 - 3
  • 20-3 = 17.

Questo ti lascia con la risposta: (x ) = 17

$$ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$
  • Esegui prima il calcolo sul lato destro, perché non include lettere. Non ci sono parentesi, quindi è prima la moltiplicazione, poi l'addizione.
  • 6 × 5 = 30 e 30 + 3 = 33.
  • Il calcolo a sinistra è un'addizione, quindi puoi spostare i termini finché non hai tutti i numeri insieme:
    5 + (x ) + 21 = (x ) + 5 + 21
    e 5 + 21 = 26.
  • Quindi ora hai 26 + (x ) = 33
  • Ora puoi togliere 26 da entrambi i lati
  • 26 + (x ) - 26 = (x ) = 33 - 26
  • E 33-26 = 7.

Pertanto (x ) = 7

$$ large {x ^ 2 + 5 = 13 - 4} $$
  • Riorganizza per ottenere tutti i numeri su un lato, togliendo cinque da ciascun lato.
  • Adesso hai
    (X )Due= 13-4-5, quindi
  • (X )Due= 4
  • Ora devi prendere la radice quadrata di entrambi i lati, perché vuoi trovare il valore di (x ) e non (x )Due.
  • Sai che 2 × 2 = 4, il che significa che la radice quadrata di 4 = 2

(x ) = 2



Equazioni e grafici

Qualsiasi equazione in cui esiste una relazione tra solo due variabili, (x ) e (y ), può essere disegnata come un grafico a linee dove (x ) va lungo l'asse orizzontale (a volte chiamato asse x ) e (y ) sull'asse verticale, (a volte chiamato asse y).

Puoi calcolare i punti sul grafico risolvendo l'equazione per valori particolari di (x ).

Esempi:

( large {y = 2x + 3} )
(X ) 0 1 Due 3 4 5 6
calc 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3
(Y ) 3 5 7 9 undici 13 quindici
Usare un grafico per calcolare il valore di y in base a un dato valore di x.

Il vantaggio di disegnare un grafico di un'equazione è che puoi usarlo per calcolare il valore di (y ) per un dato valore di (x ), o addirittura (x ) per un dato valore di (y ), guardando il grafico.

In questo esempio qual è il valore di (x ) quando (y ) = 10?

Spostati verso l'alto sull'asse y fino a raggiungere 10, quindi orizzontalmente fino a raggiungere la linea sul grafico. A quel punto, spostati verso il basso fino a raggiungere l'asse x. Questo è mostrato dalle linee rosse sul grafico e puoi vedere che quando (y ) = 10, (x ) = 3.5.

come calcolare la percentuale di variazione tra due numeri

( large {y = x ^ 2 + x + 4} )

Quando (x ) = 0, (y ) = 0 + 0 + 4 = 4
quando (x ) = 1, (y ) = 1 + 1 + 4 = 6
quando (x ) = 2, (y ) = 4 + 2 + 4 = 10
e così via...

(X ) 0 1 Due 3 4 5 6 7 8 9 10
(Y ) 4 6 10 16 24 3. 4 46 60 76 94 114
Un grafico in algebra. Usa il valore di x per trovare il valore di y.

Estrapolare


Un altro vantaggio di tracciare la tua equazione su un grafico è che puoi estrapolare i tuoi dati (informazioni numeriche) per ricavare valori più grandi di (x ) o (y ). Estrapolare significa che estendi il tuo grafico continuando la linea che hai tracciato dai tuoi dati, per stimare i valori di (x ) e (y ) oltre l'intervallo di dati che hai già.

Nel primo esempio, l'equazione produce una linea retta, quindi estrapolare questo grafico è semplice. Tuttavia, è necessario prestare attenzione quando si estrapola un grafico che non è una linea retta, come nel secondo esempio.


Insomma

Questa pagina ha spiegato come risolvere semplici equazioni e la relazione tra equazioni e grafici, offrendoti un modo alternativo per risolvere le equazioni.

Ora sei pronto per passare a equazioni più complesse, comprese equazioni simultanee ed equazioni quadratiche.


Continuare a:
Equazioni simultanee e quadratiche
Probabilità un'introduzione