Forme curve

Guarda anche: Poligoni

Cerchi, ellissi, parabole e iperbole

La nostra pagina su Poligoni copre forme realizzate con linee rette, note anche come 'forme piane'. Questa pagina spiega di più sulle forme con curve, soprattutto quelle bidimensionali.

Le forme curve bidimensionali includono cerchi, ellissi, parabole e iperboli, nonché archi, settori e segmenti. Le forme curve tridimensionali, comprese sfere, cilindri e coni, sono trattate nella nostra pagina su Forme tridimensionali .

Forme curve bidimensionali

Proprietà di un cerchio. Circonferenza, diametro e raggio.

Cerchi

Probabilmente la forma curva bidimensionale più comune è un cerchio.



Per lavorare con i cerchi (e altre forme curve) in geometria è importante comprendere le proprietà chiave di un cerchio:

calcola l'area di ogni forma
  • Una linea dritta al centro di un cerchio è la diametro .



  • La metà del diametro è il raggio .

  • La linea attorno al bordo di un cerchio è la circonferenza .

Qualsiasi punto sulla circonferenza di un cerchio è esattamente alla stessa distanza dal centro del cerchio di qualsiasi altro punto sulla circonferenza.

Introduzione di π (pi greco)


π o pi è una lettera greca. In matematica, è usato per rappresentare una particolare costante, che è anche un numero irrazionale o infinito (vedi la nostra pagina su Numeri speciali per più).

π ha un valore di 3,142 (sebbene essendo infinito, questa è un'approssimazione del suo valore esatto).


π è importante perché viene utilizzato per calcolare la circonferenza e l'area di un cerchio.

La circonferenza di un cerchio è uguale a π x diametro, o 2 × π × raggio (abbreviato in 2πr).

L'area di un cerchio è uguale a π × raggioDue. Questa formula è solitamente abbreviata in πrDue

Per ulteriori informazioni sull'area, vedere la nostra pagina Area di calcolo .

Settori e segmenti

I settori e i segmenti sono 'fette' di un cerchio.



Settori hanno la forma di una fetta di pizza, con un bordo curvo e ogni lato dritto della stessa lunghezza del raggio del cerchio, o pizza, da cui è stata tagliata. I grafici a torta sono costituiti da una serie di settori relativi alle dimensioni dei dati che mostrano.

Un settore può essere di qualsiasi dimensione, tuttavia un settore che è mezzo cerchio (180 °) è chiamato a semicerchio , mentre un settore di un quarto di cerchio (90 °) è chiamato a quadrante .

PER segmento è la parte curva di un settore, la parte che rimane se rimuovi il triangolo da un settore. I segmenti sono costituiti da due linee. Il arco (una sezione della circonferenza del cerchio - vedi sotto) e a accordo - la linea retta che unisce le due estremità dell'arco.

Settori di cerchio inclusi semicerchi (semicerchi) e quadranti (quater cerchi). Segmenti di cerchio, corda e arco.

Un settore è una frazione di un cerchio e quindi la sua area è una frazione dell'area dell'intero cerchio. Per calcolare l'area di un settore è necessario conoscere il suo angolo centrale, θ e il raggio.



L'area di un settore può quindi essere calcolata utilizzando la seguente formula:

πrDue× (θ ÷ 360)

Archi

Lunghezza di un arco di cerchio. 2πr × (θ ÷ 360)

Una sezione della circonferenza di un cerchio è chiamata un arco .

Per calcolare la lunghezza di un arco tra i punti A e B, è necessario conoscere l'angolo al centro tra i punti A e B. θ (theta) è il simbolo utilizzato per rappresentare questo angolo sotteso da A e B. Nel nostro esempio, stiamo usando i gradi per θ, ma è anche possibile usare i radianti.

È inoltre necessario conoscere il raggio (r) dell'arco.

Poiché ci sono 360 ° nell'intero cerchio, la lunghezza dell'arco è uguale all'angolo centrale (θ) diviso per 360, quindi moltiplicato per la circonferenza dell'intero cerchio (2πr).

2πr × (θ ÷ 360)

Esempio:



r = 10 cm, θ = 88 °, π = 3,14

Lunghezza arco = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 = 15,07 cm .

Gradi o radianti?


L'unità di misura più comunemente utilizzata per gli angoli sono i gradi, ma potresti anche imbatterti in calcoli in cui l'angolo viene misurato in radianti. Questa è l'unità SI standard per gli angoli di misurazione e per ulteriori informazioni sui radianti, vedere il nostro Introduzione agli angoli pagina. Per ulteriori informazioni sul sistema di misurazione SI, vedere la nostra pagina su Sistemi di misurazione .

2π radianti è uguale a 360 °, quindi la formula per la lunghezza dell'arco quando θ è espressa in radianti è semplicemente rθ.

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Ellissi

Un'ellisse è una curva su un piano (o superficie piatta) che circonda due punti focali. Una linea retta tracciata da un punto focale a un punto qualsiasi della curva e poi all'altro punto focale ha la stessa lunghezza per ogni punto della curva.

Le ellissi sono molto importanti in astronomia e fisica, poiché ogni pianeta ha un'orbita ellittica con il sole come uno dei punti focali.

Un cerchio è una forma specifica di ellisse, in cui i due punti focali si trovano nello stesso punto (al centro del cerchio). Le ellissi possono anche essere descritte come 'ovali', ma la parola 'ovale' è molto meno precisa in matematica e significa semplicemente 'a forma di uovo'.

Proprietà di un

Proprietà di un'ellisse:

Un'ellisse ha due assi principali ed è simmetrica attorno ad essi.

L'asse più lungo è chiamato asse maggiore ; l'asse più corto è il asse minore .

I quattro punti in cui gli assi attraversano la circonferenza sono chiamati vertici (vertice singolare). I due punti in cui l'asse minore incrocia la circonferenza sono chiamati co-vertici .

Il due punti focali (o fuochi, a volte chiamati locus o loci) sono entrambi sull'asse maggiore e distanze uguali dal centro.

La distanza da un punto focale a qualsiasi punto della circonferenza e di nuovo all'altro punto focale (la linea tratteggiata blu nel nostro diagramma) è uguale alla lunghezza tra i vertici sull'asse maggiore.

La misura in cui un'ellisse è allungata è definita dalla sua eccentricità . La formula per il calcolo dell'eccentricità è:

Eccentricità = distanza dal centro al punto focale
distanza dal centro al vertice sull'asse maggiore

L'eccentricità di un cerchio è zero, perché i punti focali sono esattamente nello stesso punto (il centro) (diciamo anche che sono coincidente ). La distanza dal centro al punto focale è quindi zero. L'eccentricità aumenta all'aumentare dell'ellisse, ma è sempre inferiore a 1. Quando la distanza dal centro al punto focale è uguale alla distanza dal centro al vertice, l'ellisse è diventata una linea retta e la sua eccentricità è uguale a 1.

L'area di un'ellisse viene calcolata come π (½ x asse minore) (½ x asse maggiore).


Parabole, iperbole e relazione tra forme curve

Le parabole e le iperbole sono più forme di forme curve, ma sono più complicate da definire rispetto ai cerchi e alle ellissi. Sono strettamente correlati tra loro e ai cerchi e alle ellissi, perché sono tutti sezioni coniche , cioè forme che si formano tagliando un cono con un piano piatto.

Le caratteristiche delle sezioni coniche sono state studiate per millenni e sono state oggetto di interesse per i matematici greci antichi come Euclide e Archimede. Il diagramma sotto mostra un doppio cono, un po 'come un clacson.

  • Se il piano taglia il cono con un angolo parallelo alla base del cono (cioè perpendicolare al suo asse verticale), allora un cerchio è formato (in alto a sinistra).

  • Se l'aereo taglia il cono parallelamente al lato del cono , poi un antenna parabolica è formato (centro).

  • Se l'aereo taglia il cono ad un angolo tra questi due, in modo tale da mantenere il contatto con i lati del cono in tutte le posizioni, allora un ellisse è formato (in basso a sinistra).

    qual è il 3 all'indietro in matematica?
  • Se l'aereo taglia entrambi i coni con un angolo più verticale, la sezione è a iperbole .

Le parabole e le iperbole sono entrambe curve simmetriche con un unico asse di simmetria e a vertice (punto più basso della forma a U della curva).

Tutte le parabole hanno la stessa forma caratteristica, non importa quanto siano grandi. Man mano che si rimpicciolisce sempre più il vertice verso l'infinito, la parabola cambia da una forma a scodella a una forma a forcina, con le sue braccia che si avvicinano sempre di più al parallelo.

A differenza delle parabole, le iperboli possono avere forme diverse , perché l'angolo di taglio può variare notevolmente. Sia le parabole che le iperbole sono infinite, ma le braccia di un'iperbole non diventano mai parallele.

Sezioni coniche. Come si può tagliare un cono per produrre, un cerchio, un

Applicazioni del mondo reale di sezioni coniche


Esistono molte applicazioni nel mondo reale delle sezioni coniche.

  • Sono utilizzati nelle lenti per telescopi e nei riflettori nei fari o faretti per creare un fascio di luce.
  • La matematica complessa associata a queste forme è vitale nel calcolo delle orbite dei satelliti.
  • In ingegneria, i cavi sul Golden Gate Bridge hanno la forma di parabole perfette e i profili alari degli aerei sono basati su ellissi.
  • Nello sport, l'arco seguito da una palla da calcio, baseball o cricket è anche una parabola, quindi la comprensione delle sezioni coniche è vitale per analizzare le prestazioni dei giocatori, cosa sempre più importante con il denaro investito negli sport professionistici.
  • La forma organica di queste forme le presta anche agli usi nelle arti e nell'architettura. Gli esempi includono il Cybertecture Egg a Mumbai, il Gateway Arch nel Missouri e numerosi lavori di artisti scultorei, come Torqued Ellipses di Richard Serra al museo Guggenheim.

Competenze necessarie?

I cerchi fanno parte della geometria di base e devi davvero sapere come calcolarne le proprietà di base.

Tuttavia, è probabilmente improbabile che tu debba fare di più che essere consapevole dell'esistenza delle altre forme a meno che tu non voglia entrare seriamente nell'ingegneria, nella fisica o nell'astronomia.

Detto questo, potresti scoprire che apprezzi sapere che le curve concave di una torre di raffreddamento di una centrale elettrica, o la luce di una lampada alogena rivolta verso il basso, hanno la forma di un'iperbole.

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