Un'introduzione ai sistemi di coordinate cartesiane

Guarda anche: Grafici e grafici

Sia che tu stia presentando i dati su un grafico a linee, tracciando un percorso in barca lungo la costa o semplicemente trovando la posizione di un parcheggio su una mappa di un Parco Nazionale, dovrai avere una comprensione delle coordinate del punto.

Un punto è un posizione singola in qualunque posto. Potrebbe essere su una linea retta (una dimensione), su una superficie bidimensionale o aereo (ad esempio un punto su un foglio di carta) o nello spazio tridimensionale (come la posizione di un aereo in volo in un dato istante di tempo).

Il punto in sé è non dimensionale (cioè non ha dimensioni o dimensioni misurabili). Suo posizione è ciò che è importante. Ogni punto a cui puoi pensare, ogni atomo nello spazio, ha il suo posto unico occupato solo da se stesso. Questo posto potrebbe cambiare con il tempo (l'aereo vola da A a B), ma in un dato istante ha una posizione unica. Ogni punto ha un indirizzo, chiamato suo coordinate , che descrive la sua posizione rispetto a un'altra conosciuto Posizione.



Su un piano bidimensionale, un punto può essere descritto da a coppia di coordinate , All'interno di una sistema di coordinate , come (x, y). In uno spazio tridimensionale, un punto può essere descritto da tre coordinate, ad es. (x, y, z). I sistemi di coordinate più comuni che potresti incontrare sono Sistemi di coordinate cartesiane . Questi vengono utilizzati dove il piano, la superficie o lo spazio possono essere descritti in dimensioni piatte e rettangolari (come una scatola o una griglia quadrata).



Tuttavia, dove ci sono curvo linee, superfici e spazi coinvolti, è necessario utilizzare un sistema derivato da forme circolari. Per ulteriori informazioni su questo, vedere la nostra pagina su sistemi di coordinate polari, sferiche o cilindriche .

Coordinate cartesiane bidimensionali

Un sistema di coordinate cartesiane su un piano bidimensionale è definito da due assi perpendicolari.

In altre parole, due linee disegnate ad angolo retto tra loro su una superficie piana (ad esempio un foglio di carta piatto, un sottile pannello di vetro o la superficie di un campo da calcio) forniscono una griglia di riferimento per ogni punto su quella superficie. Potresti anche vedere questo tipo di sistema denominato rettangolare o ortogonale sistema di coordinate, perché gli assi di riferimento sono perpendicolari.

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Un tipico sistema di coordinate cartesiane è definito dagli assi xey. Ogni asse ha un'unità di lunghezza o distanza (come metri o miglia). Qualsiasi punto all'interno del sistema di coordinate è descritto da una distanza relativa a entrambi gli assi xey, (x, y). Gli assi si incrociano nel punto in cui il valore sia di x che di y è zero; questo è chiamato l'origine (0,0) .



Di seguito è riportato un esempio che mostra le coordinate di cinque diversi punti all'interno di un sistema cartesiano bidimensionale con gli assi convenzionalmente etichettati come x (orizzontale) ey (verticale). Ciascuno dei cinque punti è definito da due numeri, il primo dei quali è la sua distanza perpendicolare all'asse y (il suo valore x) e il secondo è la sua distanza perpendicolare all'asse x (il suo valore y). Nota che il file direzione anche dall'origine è importante, poiché ciò determinerà se i valori di x e y sono positivi o negativi.

Esempi di coordinate cartesiane

Quando ti imbatti in un diagramma come quello sopra, ad esempio una mappa o forse una raccolta di dati, è probabile che tu debba fare una delle due cose:

  • O hai un punto su un grafico e devi determinarne le coordinate;
  • O hai le coordinate e devi calcolare la posizione del punto.

Determinazione delle coordinate di un punto

Per determinare le coordinate di un punto, considera Punto A nel diagramma (contrassegnato in rosso nel quadrante positivo xey o quadrante 1). Innanzitutto, misura quanto è lungo l'asse x dall'origine, cioè la sua distanza perpendicolare dall'asse y. Questo fornisce la coordinata x, che ha un valore di 2. Quindi, misurare quanto è lontano il punto lungo l'asse y, in direzione perpendicolare dall'asse x. Questo dà la tua coordinata y, che ha un valore di 3.



Le coordinate di Punto A sono quindi (2,3).

Trovare la posizione di un punto dalle sue coordinate

Nella seconda istanza, potresti ricevere le coordinate (−5,5, −1,5) e devi trovare la posizione di quel punto sul grafico o sulla mappa. In questo caso, viaggi prima lungo l'asse x negativo fino a raggiungere il valore −5,5. Quindi da quella posizione, muoviti in direzione perpendicolare -1,5 unità, cioè 1,5 unità parallele all'asse y negativo e segna il tuo punto. In alternativa puoi disegnare una linea verticale in x = −5,5 e una linea orizzontale in y = −1,5.

Dove le due linee si intersecano è il punto (−5,5, −1,5), che è mostrato nel diagramma come Punto B , nel quadrante 3.



Avvertimento! La sequenza è significativa!


Quando si leggono o si scrivono le coordinate, lo è molto importante che sono sempre nell'ordine x, y. Guardando il quadrante 1 sul diagramma, puoi vederlo Punto A (2,3) è in una posizione completamente diversa dal punto (3,2)!

Assi di coordinate: una convenzione importante

I sistemi di coordinate cartesiane hanno spesso assi etichettati xey, ma non è sempre così. Tuttavia, è importante distinguere chiaramente l'uno dall'altro, poiché il punto (x, y) non è lo stesso del punto (y, x).

Nell'uso comune, l'asse orizzontale (x) è chiamato ascissa e l'asse verticale (y) è chiamato ordinato . L'ascissa e l'ordinata sono la prima e la seconda coordinata di qualsiasi punto nel sistema di coordinate, indipendentemente dal fatto che gli assi siano etichettati xey o qualsiasi altra cosa.

Se trovi difficile ricordare quale degli assi è il file PER bscissa o O rdinate, ricordate che nell'alfabeto, x viene prima di y e A viene prima di O . Puoi anche immaginare di andare PER lungo il corridoio poi su per le scale!



Coordinate cartesiane tridimensionali

In un sistema di coordinate cartesiane tridimensionali, la posizione del punto nello spazio deve essere descritta da tre coordinate, tipicamente (x, y, z). In un sistema bidimensionale, il punto è da qualche parte su un piano piatto. Tuttavia, un piano ha solo una lunghezza e una larghezza, mentre uno spazio tridimensionale deve anche avere un'altezza o una profondità. In questo caso puoi immaginare che il punto si trovi da qualche parte all'interno di una scatola rettangolare.

Le prime due coordinate, x e y, sono determinate allo stesso modo di un sistema bidimensionale. Descrivono la posizione del punto se fosse proiettato verso il basso (o verso l'alto) ad angolo retto sul piano x-y. Per renderlo più facile da visualizzare, immagina di tenere una palla in mano, il braccio teso all'altezza delle spalle. La palla è il tuo punto. Se lasci cadere la palla, rimbalza a terra, immediatamente sotto la posizione della tua mano. Se il terreno è il piano x-y, il punto in cui la pallina rimbalza è la coordinata del punto (x, y).

Il sistema tridimensionale ha anche un asse z, che giace perpendicolare al piano x-y. La posizione sopra il terreno in cui stavi tenendo la palla è la sua coordinata z. L'origine di un sistema cartesiano tridimensionale è il punto in cui x, yez sono tutti uguali a zero (0,0,0).

In termini matematici, un punto P in un tipico sistema di coordinate cartesiane tridimensionali è mostrato nel diagramma sottostante. P è equivalente alla palla nel nostro esempio.

Coordinate cartesiane tridimensionali

È improbabile che sia necessario utilizzare sistemi di coordinate cartesiane 3D nella vita di tutti i giorni a meno che non si sia coinvolti in ingegneria, fisica, architettura o altre applicazioni di progettazione assistita da computer. Tuttavia, è utile capire come funzionano. Molti pacchetti di progettazione e disegno 3D usati a casa lavorano su questi principi, quindi una conoscenza di base della geometria spaziale è spesso preziosa per usarli con successo.


Applicazioni delle coordinate cartesiane

Uso di coordinate cartesiane durante la creazione di grafici di equazioni algebriche

In matematica, ci saranno momenti in cui sarà necessario tracciare un grafico da un'equazione algebrica, per comprenderne e interpretarne appieno le caratteristiche. Un'equazione nella forma (y ) = ƒ ( (x )), ( (y ) in funzione di (x )), può essere disegnata su coordinate cartesiane. Per ogni valore di (x ), puoi determinare il valore di (y ) dall'equazione e quindi ogni punto sul grafico ( (x ), (y )) può essere tracciato.

Il diagramma seguente illustra la curva caratteristica dell'equazione quadratica

$$ y = x ^ 2 + 9x + 20 $$

quali sono i tre metodi positivi per gestire lo stress 10 punti
Grafico dell
Per ulteriori informazioni, vedere le nostre pagine su Grafici e grafici e Equazioni quadratiche .

Applicazione di coordinate cartesiane per mappare le capacità di lettura

Immagina che un amico dica

“Ci incontreremo al parcheggio sulla B4437, poi andremo a piedi all'area del picnic per il pranzo. Possiamo andare al pub più tardi. È quello sulla strada: se raggiungi la chiesa sei andato troppo lontano! '

Mappa semplice che mostra Northings e Eastings per dimostrare le coordinate.

L'illustrazione sopra mostra una mappa semplicistica dell'area.

Oggi puoi trovare la strada praticamente ovunque, grazie alla navigazione satellitare e alle applicazioni mobili come Google Maps. Tuttavia, è ancora molto utile avere capacità di lettura delle mappe. Potresti trovarti in una situazione in cui non c'è segnale mobile o la tua batteria è scarica.

Ogni tipo di mappa avrà un'estensione chiave , che è un elenco di tutti i simboli utilizzati sulla mappa e del loro significato, e una griglia numerata, che è unica per quell'area. L'Ordnance Survey nel Regno Unito è uno dei produttori di mappe più conosciuti al mondo. Qualsiasi posizione mappata dal sistema operativo ha un unico file riferimento di griglia , che è il suo coordinate . Indipendentemente dal fatto che si tratti di un mulino a vento nel Norfolk o di un punto di triangolazione su una montagna scozzese, puoi trovarlo su una mappa se hai la sua griglia di riferimento.

come ottenere l'aumento percentuale di due numeri

Le coordinate su una mappa sono riferimenti di griglia a quattro o sei cifre. L'asse x cartesiano è sostituito da eastings e l'asse y di northings . Le coordinate di un punto si trovano allo stesso modo di un sistema cartesiano: lungo il corridoio e su per le scale !

PER griglia di riferimento a quattro cifre fornisce il quadrato sulla mappa che contiene la posizione. Le coordinate sono il punto nell'angolo inferiore sinistro del quadrato. Ad esempio, il tuo parcheggio si trova al 1947 e il pub al 2145.

Ma se avessimo bisogno di una descrizione molto più accurata del luogo? Nell'esempio, è necessario conoscere la posizione esatta dell'area del picnic, poiché si trova a una certa distanza dal parcheggio e dalla strada. In questo caso è necessario un riferimento a griglia a sei cifre.

PER riferimento di griglia a sei cifre si ottiene immaginando che ogni quadrato della griglia sia suddiviso in dieci suddivisioni, come unità su un foglio di carta millimetrata. La griglia di riferimento a quattro cifre per l'area del picnic è 2048, ma aggiungendo il numero di decimi a 20 e 48, possiamo trovare una descrizione più accurata del luogo.

Guardando prima verso est, puoi vedere che l'area del picnic è appena meno della metà tra 20 e 21, che puoi stimare come circa 20,4, o quattro decimi rispetto a 20. Le prime tre cifre della tua griglia di riferimento sono quindi scritto 203. Guardando a nord, puoi vedere che la posizione è a circa un terzo della distanza tra 48 e 49, quindi le seconde tre cifre sono 483. L'area del picnic è quindi al 203483.

Prova a trovare la griglia di riferimento per la chiesa.

La risposta è 218447.


Conclusione

La proprietà più importante di un punto su una superficie o nello spazio 3D è la sua posizione esatta. Questo può essere misurato utilizzando un sistema di coordinate, come il sistema cartesiano.

Capire come funzionano i sistemi di coordinate ti aiuterà matematicamente quando disegni grafici e potrebbe anche impedirti di perderti se hai una mappa con te.


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Coordinate polari, cilindriche e sferiche
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